Linear

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By M. Popescu

ISBN-10: 0125615507

ISBN-13: 9780125615501

Abelian different types with purposes to earrings and Modules (London Mathematical Society Monographs)

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Rn ~ 40 Es sei R ein kommutativer Ring mit 1; dann ist V = R bei üblicher Multiplikation auch ein R-Modul und die RTeilmoduln von R sind gerade die zweiseitigen Ideale a von R. Die zugehörigen Faktormoduln haben die Form (vgl. 5f) sogar kommutative Restklassenringe mit Einselement. Somit folgt: Die homomorphen Bilder des R-Moduls R sind isomorph· zu den Restklassenringen Rla als R-Moduln, woraus leicht der Homomorphiesatz für Ringe folgt. Definition 2H. Sind V und W K-Vektorräume (bzw. R-Linksmoduln), so bezeichne HomK(V, W):={cp: V -4 W I cp K-lineare Abbildung} (bzw.

Iii) B' ist ein minimales Erzeugendensystem von V. h. die ~v sind durch x eindeutig bestimmt. Beweis. 1. Ist B = {a I, ••• , an} eine Basis von V und sind b ' , ... 3). Ist auch {b I, . • . h. es ist p = n und damit die erste Teilbehauptung bewiesen. 2. 3 B' auch eine maximale Teilmenge linear unabhängiger Elemente in V. Ist umgekehrt (ii) erfüllt, so ist jedes x E V Linearkombination von b ' , ... h. linear abhängig, also ist B' auch ein Erzeugendensystem und hieraus folgt (i). 55 3. (i) ~ (iii): Ist B' eine Basis von V, so ist B' auch ein Erzeugendensystem und sogar minimal (sonst könnte ein Vektor weggelassen werden im Widerspruch zur Minimalität).

8. 3 gegeben. 6b). 3 auf und bringe A mit dem Gaußsehen Algorithmus auf obere Dreiecksform und berechne damit lAI. 1 mit euklidischem Algorithmus über Z. 9. 1) auf obere Dreiecksgestalt um und berechne IAI: o X-1 X2 10. Betrachte über R ( 1 o X2 = R[X] das lineare Gleichungssystem -X 3 +X 2 +1 X 4 -X 2 +X-1 -X 5 +X4 +X3 a) Ist dieses System in R 3 lösbar? Bestimme gegebenenfalls die Lösungen. b) Ist ( *) in (R(X))3 lösbar? Bestimme gegebenenfalls die Lösungen. 24 c) Ersetze in (*) jeweils X durch den Parameter ,\ ER.

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by Ronald
4.3

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