German 14

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By Prof. Dr. Stefan Müller-Stach, Priv.-Doz. Dr. Jens Piontkowski (auth.)

ISBN-10: 3834802115

ISBN-13: 9783834802118

ISBN-10: 3834890642

ISBN-13: 9783834890641

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Wie funktioniert nun die Verschlusselung? Der offentliche SchlUssel ist das Paar (n, e), das offentlich bekannt ist. Max ist aber der einzige, der d kennt, da er (p(n) kennt. Alle anderen kennen die Faktorisierung von n nicht und damit

1)! = 0 mod 2a2, insbesondere (p—1)1 = 0 modp = a2. Sei nun /? prim, dann rechnen wir in dem Korper ¥p = Z/pZ. In einem Korper sind nur die Elemente 1 und — 1 ihr eigenes Inverses, denn x = x~x Ox2 = 1<£>0 = J C 2 - 1 = 0 + 1 ) 0 - 1 ) . In ¥p gilt 1 = 1 und — 1 = p — 1. Also wird in dem Produkt 2 • 3 •... • p — 2 jedes Element mit seinem Inversen multipliziert, und es ist daher 1. Somit ist (p — 1)! = p — 1 = — 1 mod p. • Beispiel Fur p — 13 ist die Paarung der Elemente mit ihrem Inversen wie folgt: 11!

Da sowohl ( — 1 als auch %ai nur von der Restklasse von / modulo p abhangt, konnen wir die obige Summe umsummieren: (;)-I(^-I(^P-1 /ni\ . P-1 Die zweite Aussage des Satzes folgt durch eine ahnliche Rechnung. i == £P1i ( S^i ) V2 = ^= £i=&z P/ /n*^ 2 = P1 /V = = P1 £iO*) =^i( — ) V # / mod 4. Multiplizieren wir noch mit gi, so erhalten wir Jetzt sind alle auftretenden Terme ganze Zahlen. ^ modq zu bekommen. Da samtliche auftretenden Terme +1 oder —1 sind, handelt es sich hier nicht nur um eine Kongruenz, sondern um eine Gleichheit.

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Elementare und algebraische Zahlentheorie: Ein moderner Zugang zu klassischen Themen by Prof. Dr. Stefan Müller-Stach, Priv.-Doz. Dr. Jens Piontkowski (auth.)


by Charles
4.0

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